Question

12．若函數(shù)$f（x）=4sinωx•{sin^2}（{\frac{ωx}{2}+\frac{π}{4}}）-2{sin^2}ωx（ω＞0）$在$[{-\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}}]$上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1]
• B． $（{0，}\right.\left.{\frac{3}{4}}]$
• C． [1，+∞）
• D． $[{\frac{3}{4}}\right.，+∞）$

Answer 1

分析 將函數(shù)化簡，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間，與已知區(qū)間比較即可．

解答 解：∵f（x）=4sinωx•sin²（ $\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{4}$）+cos2ωx-1
=4sinωx•$\frac{1-cos（ωx+\frac{π}{2}）}{2}$+cos2ωx-1
=2sinωx（1+sinωx）+cos2ωx=2sinωx，
∴[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]是函數(shù)含原點的遞增區(qū)間．
又∵函數(shù)在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上遞增，∴[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]?[-$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴得不等式組 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2ω}≤-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}≤\frac{π}{2ω}}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{ω≤1}\\{ω≤\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
又∵ω＞0，0＜ω≤$\frac{3}{4}$，
ω的取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$]．
故選：B．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．