Question

甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對者對本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P（AB）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意甲隊(duì)中每人答對的概率均為，故可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故，
（2）AB為“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”和“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”同時(shí)滿足，有兩種情況：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”這兩個(gè)事件互斥，分別求概率，再取和即可．
解答：解：（Ⅰ）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且，，，．
所以ξ的分布列為

ξ的數(shù)學(xué)期望為．

解法二：根據(jù)題設(shè)可知，，
因此ξ的分布列為，k=0，1，2，3．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225150214786516/SYS201311012251502147865018_DA/10.png">，所以．
（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”這一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又=，，
由互斥事件的概率公式得．
解法二：用A_k表示“甲隊(duì)得k分”這一事件，用B_k表示“乙隊(duì)得k分”這一事件，k=0，1，2，3．
由于事件A₃B，A₂B₁為互斥事件，故有P（AB）=P（A₃B∪A₂B₁）=P（A₃B）+P（A₂B₁）．
由題設(shè)可知，事件A₃與B獨(dú)立，事件A₂與B₁獨(dú)立，因此P（AB）=P（A₃B）+P（A₂B₁）=P（A₃）P（B）+P（A₂）P（B₁）=．
點(diǎn)評：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布、期望、及互斥事件、獨(dú)立事件的概率問題，同時(shí)考查利用概率知識分析問題解決問題的能力．在求解過程中，注意P（AB）=P（A）P（B）只有在A和B獨(dú)立時(shí)才成立．