Question

過橢圓

x2

36

+

y2

4

=1的一個焦點F作弦AB，若|AF|=m，|BF|=n，則

1

m

+

1

n

=

3

．

Answer 1

分析：利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

36

+

y2

4

=1得出a=6，b=2，c=4

2

，e=

2 2

3

，焦點到準(zhǔn)線的距離p，結(jié)合此橢圓的極坐標(biāo)方程為：ρ=

ep

1-ecosθ

，設(shè)A（m，θ），B（n，π+θ），求出m，n即可求得

1

m

+

1

n

．

解答：解：橢圓

x2

36

+

y2

4

=1的
a=6，b=2，c=4

2

，e=

2 2

3

，焦點到準(zhǔn)線的距離p=

a 2

c

-c=

36

4 2

-4

2

=

2

2

．
則此橢圓的極坐標(biāo)方程為：ρ=

ep

1-ecosθ

=

2 2 3 × 2 2

1- 2 2 3 cosθ

=

2

3-2 2 cosθ

，
設(shè)A（m，θ），B（n，π+θ），
則|AF|=m=

2

3-2 2 cosθ

，|BF|=n=

2

3+2 2 cosθ

，
則

1

m

+

1

n

=3，
故答案為：3．

點評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)、橢圓的極坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．本題解答中用到了橢圓的極坐標(biāo)，方法新穎，簡便，由于新教材實驗區(qū)已經(jīng)不學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，請根據(jù)情況選擇學(xué)習(xí)