Question

設(shè)f(x)=

2-x+a

1+x

（a為實(shí)常數(shù)），y=g（x）與y=e^-x的圖象關(guān)于y軸對稱．
（1）若函數(shù)y=f[g（x）]為奇函數(shù)，求a的取值．
（2）當(dāng)a=0時，若關(guān)于x的方程f[g(x)]=

g(x)

m

有兩個不等實(shí)根，求m的范圍；
（3）當(dāng)|a|＜1時，求方程f（x）=g（x）的實(shí)數(shù)根個數(shù)，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)y（0）=0即可求出；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程有兩個不等正實(shí)數(shù)根即可求出；
（3）將方程的實(shí)數(shù)根問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的交點(diǎn)問題即可．

解答：解：（1）∵y=g（x）與y=e^-x的圖象關(guān)于y軸對稱，∴g（x）=e^x．
∴y=f（g（x））=

2-ex+a

1+ex

為奇函數(shù)，
∴f（g（0））=

2-1+a

1+1

=0，解得a=-1．
經(jīng)檢驗(yàn)a=-1滿足條件．
（2）當(dāng)a=0時，方程f（g（x））=

g(x)

m

可化為（e^x）²+（1+m）e^x-2m=0．
由題意知：此方程有兩個實(shí)數(shù)根．
令e^x=t，則方程t²+（1+m）t-2m=0有兩個不等正實(shí)數(shù)根．
∴

△=(1+m)2+8m＞0 t1+t2=-(1+m)＞0 t1t2=-2m＞0

，解得m＜-5-2

6

．
（3）方程f（x）=g（x）可化為e^x+1=

3+a

1+x

．
當(dāng)|a|＜1時，方程ex+1=

3+a

1+x

由唯一實(shí)數(shù)根．
證明：分別令h（x）=e^x+1，u（x）=

3+a

1+x

（x≠-1）．
可知函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增，且h（0）=2．
∵|a|＜1，∴3+a＞0，
∴u′(x)=

-(3+a)

(1+x)2

＜0，
即函數(shù)u（x）分別在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
根據(jù)上面的分析畫出圖象：
由圖象可知：只有當(dāng)x＞-1時，函數(shù)u（x）與h（x）只有一個交點(diǎn)．
即方程f（x）=g（x）只有一個實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及“三個二次”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．