Question

已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，

NA

+

NB

+

NC

=0，且

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的

③

．
①重心 外心 垂心   ②重心 外心 內(nèi)心   ③外心 重心 垂心   ④外心 重心 內(nèi)心．

Answer 1

分析：據(jù)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，得到O是三角形的外心，根據(jù)所給的四個(gè)選項(xiàng)，第一個(gè)判斷為外心的只有③④兩個(gè)選項(xiàng)，只要判斷第三個(gè)條件可以得到三角形的什么心就可以，移項(xiàng)相減，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．

解答：證明：∵|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，
∴O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
∴O是三角形的外心，
根據(jù)

NA

+

NB

+

NC

=0時(shí)，得-

NA

=

NB

+

NC

，
由平行四邊形法則可得N點(diǎn)在BC的中線上，
同理可得N也在AB，AC的中線上，故N為△ABC的重心；
下面判斷第三個(gè)條件可以得到三角形的什么心，
∵

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，
∴

PB

(

PA

-

PC

)=0，
∴

PB

•

CA

=0，
∴

PB

⊥

CA

，
同理得到另外兩個(gè)向量都與邊垂直，
得到P是三角形的垂心，
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則、三角形五心等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，本題是一個(gè)考查的向量的知識(shí)點(diǎn)比較全面的題目，把幾種三角形的心總結(jié)的比較全面，解題時(shí)注意向量的有關(guān)定律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．