如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求點A到平面PBD的距離的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．
由題意，連接AC，BD交于點O，由于四邊形ABCD是菱形可得AC，BD互相垂直，以OA、OB所在直線分別x軸，y軸，以過O且垂直平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則A(
3
，0，0)，B(0，1，0)，C(-
3
，0，0)，D(0，-1，0)，P(
3
，0，2)，
DB
=(0，2，0)，
AP
=(0，0，2)（2分）
（Ⅰ）設平面PDB的法向量為
n1
=(x1，y1，z1)，
DP
=(
3
，1，2)，
DB
=(0，2，0)
由
n1
•
DP
=0
n1
•
DB
=0
，得
3
x1+y1+2z1=0
2y1=0
，令z1=1，得
n1
=(-
2
3
3
，0，1)，
DA
=(
3
，1，0)
所以點A到平面PDB的距離d=
|
n1
•
DA
|
|
n1
|
=
2
21
7
（5分）
（Ⅱ）設平面ABP的法向量
n2
=(x2，y2，z2)，
AP
=(0，0，2).
AB
=(-
3
，1，0)，
由
AP
•
n2
=0
AB
•
n2
=0
，得
2x2=0
-
3
x2+y2
=0，令y2=1，得
x2=
3
3
y2=1
z2=0

，∴
n2
=(
3
3
，1，0)，
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
|•|
n2
|
=-
7
7
，而所求的二面角與＜
n1
，
n2
＞互補，
所以二面角A-PB-D的余弦值為
7
7

練習冊系列答案
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求證：與不垂直．
 

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A．B．C．D．

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2

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