Question

13．已知點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦點(diǎn)，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于 M、N兩點(diǎn)，若△M NF₂為等腰直角三角形，則該橢圓的離心率e為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $-1+\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 把x=-c代入橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．由于△MNF₂為等腰直角三角形，可得$\frac{^{2}}{a}$=2c，由離心率公式化簡整理即可得出．

解答 解：把x=-c代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∵△MNF₂為等腰直角三角形，
∴$\frac{^{2}}{a}$=2c，即a²-c²=2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，化為e²+2e-1=0，0＜e＜1．
解得e=-1+$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)：離心率、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．