Question

如圖，ABCD為邊長2的菱形，∠BAD=60°，對角線交于點O，沿BD將BCD折起，使二面角C-BD-A為120°，P為折起后AC上一點，且AP=2PC，Q為△ABD的中心．
（1）求證：PQ∥平面BCD；
（2）求證：PO⊥平面ABD；
（3）求BP與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由題意可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，由線面平行的判定定理可得；
（2）易得OC=OA=2cos30°=

3

，在△AOC中，由余弦定理可得AC=3，在△PAO中，可得PO=1，由勾股定理可得PO⊥OA，又可得PO⊥BD，又AO∩BD=0，由線面垂直的判定可得；
（3）建立坐標系，求出

BP

=（-1，0，1），平面BCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出BP與平面BCD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：如圖由ABCD為菱形，則AC⊥BD，∠AOC=120°，
由Q為三角形ABD的重心，可得AQ=2QO，又AP=2PC，所以PQ∥CO，
又PQ?平面BCD，CO?平面BCD，所以PQ∥平面BCD；
（2）證明：由題意OC=OA=2cos30°=

3

，在△AOC中，由余弦定理可得
AC²=3+3-2×

3

×

3

×cos120°=9，所以AC=3，
又∠AOC=120°，AO=CO，∴∠PAO=30°，
在△PAO中，OA=

3

，AP=2，∠PAO=30°，所以PO=1，
所以PO²+OA²=AP²，所以PO⊥OA，
又BD⊥平面AOC，所以PO⊥BD，又AO∩BD=0，
所以PO⊥平面ABD；
（3）解：建立如圖所示的坐標系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0，

3

2

，

3

2

），P（0，0，1），
∴

BP

=（-1，0，1），

CB

=（0，-

3

2

，-

3

2

），

CD

=（-1，-

3

2

，-

3

2

），
設平面BCD的法向量為

m

=（x，y，z），則

x- 3 2 y- 3 2 z=0 -x- 3 2 y- 3 2 z=0

，
取

m

=（0，-

3

，1），
設BP與平面BCD所成角為α，則sinα=|

1

2 •2

|=

2

4

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的判定，考查線面角，正確運用向量法是關鍵，屬中檔題．