已知函數(shù)
,
(其中
).
(Ⅰ)求函數(shù)
的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有兩個零點,求正實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)求證:當(dāng)
時,
.(說明:e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
(Ⅰ)極小值為
,無極大值(Ⅱ)
(Ⅲ)問題等價于
.由(Ⅰ)知
的最小值為
.設(shè)
,
得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.∴
,
∵
=
,∴
,∴
,故當(dāng)
時,
試題分析:(Ⅰ)
,
∴
(
,
),
由
,得
,由
,得
,
故函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)
的極小值為
,無極大值. 4分
(Ⅱ)函數(shù)
,
則
,
令
,∵
,解得
,或
(舍去),
當(dāng)
時,
,
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)
時,
,
在
上單調(diào)遞增.
函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有兩個零點,
只需
即
∴
故實數(shù)a的取值范圍是
. 9分
(Ⅲ)問題等價于
.由(Ⅰ)知
的最小值為
.
設(shè)
,
得
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
∴
,
∵
=
,
∴
,∴
,故當(dāng)
時,
. 14分
點評:求函數(shù)極值最值都需要首先找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二問將函數(shù)存在零點轉(zhuǎn)化為最值邊界值的范圍,第三問將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,這兩種轉(zhuǎn)化是函數(shù)綜合題中經(jīng)?嫉降
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
,則
_____________
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若函數(shù)
和函數(shù)
的圖象恒過同一個定點,則
+
的最小值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
是R上的奇函數(shù),若對于
,都有
,
時,
的值為( )
A. | B. | C.1 | D.2 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下對應(yīng)值表:
在下列區(qū)間中,函數(shù)
必有零點的區(qū)間為( ).
A.(1,2) B. (2,3) C.(3,4) D. (4,5)
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
建造一個容積為50
,高為2
長方體的無蓋鐵盒,問這個鐵盒底面的長和寬各為多少時材料最?
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)f(x)=ax
3+bx
2+cx+d的圖象如圖所示,且|x
1|<|x
2|,則有( )
A.a(chǎn)>0,b>0,c<0,d>0 |
B.a(chǎn)<0,b>0,c<0,d>0 |
C.a(chǎn)<0,b<0,c>0,d>0 |
D.a(chǎn)>0,b<0,c>0,d<0 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)函數(shù)
是定義在
上的周期為2的偶函數(shù),當(dāng)
時,
,則
=___________.
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