Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2t，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，（其中t為常數(shù)且t≠0）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an-t

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

an

(n+1)2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知中，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，我們易變形為t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，進(jìn)而得到

1

an-t

-

1

an-1-t

=

1

t

，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{

1

an-t

}為等差數(shù)列；
（2）由（1）中結(jié)論，我們結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，及已知中a₁=2t，得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)（2）中的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，我們易得到數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，利用拆項(xiàng)法，我們易求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

解答：證明：（1）∵t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，
∴（t²-ta_n-1）-（ta_n-1-a_n-1a_n）=0，
即t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，
∵t-a_n-1≠0
∴

1

an-t

=

an-1

t(an-1-t)

=

an-1-t+t

t(an-1-t)

=

1

t

+

1

an-1-t

即

1

an-t

-

1

an-1-t

=

1

t

∴數(shù)列{

1

an-t

}為等差數(shù)列；
解：（2）由（I）得數(shù)列{

1

an-t

}為等差數(shù)列，公差為

1

t

，
∴

1

an-t

=

1

a1-t

+

1

t

（n-1）=

n

t

∴a_n=

t

n

+t
（3）bn=

an

(n+1)2

=

(n+1)t n

(n+1)2

=

t

n(n+1)

=t•(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=t[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=t（1-

1

n+1

）=

nt

n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列關(guān)系的確定，數(shù)列的求和，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)等差數(shù)列的定義，判斷出

1

an-t

-

1

an-1-t

=

1

t

，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式確定使用拆項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和．