Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=-lnx+ax²+（1-2a）x+a-1，（x∈（0，+∞），實數(shù)a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＞0在x∈（0，1）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）=0求出f（x）的極值點，比較極值點的大小關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的單調(diào)性；
（II）討論f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，求出f（x）的最小值，令f_min（x）＞0解出a的范圍．

解答 解（Ⅰ）f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2a（x-1）+1=$\frac{2a{x}^{2}+（1-2a）x-1}{x}$（x＞0）．
設(shè)g（x）=2ax²+（1-2a）x-1=（2ax+1）（x-1），
（1）當(dāng)a≥0時，2ax+1＞0．令g（x）＞0，得x＞1，令g（x）＜0，得0＜x＜1．
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a＜0時，g（x）圖象開口向下，在（0，+∞）上有兩個零點1和-$\frac{1}{2a}$，
①當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時，-$\frac{1}{2a}$=1，此時當(dāng)g（x）＞0，無解；g（x）＜0，可得x＜1或x＞1．
∴f（x）在（0，1），（1，+∞）上單調(diào)遞減，且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上不間斷，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
②當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，-$\frac{1}{2a}＞1$，此時當(dāng)g（x）＞0，可得1$＜x＜-\frac{1}{2a}$；當(dāng)g（x）＜0，可得0＜x＜1或x$＞-\frac{1}{2a}$．
∴f（x）在（1，-$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞增；在（0，1），（-$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
③當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$時，0$＜-\frac{1}{2a}＜1$，此時當(dāng)g（x）＞0，可得-$\frac{1}{2a}＜x＜1$；g（x）＜0，可得0$＜x＜-\frac{1}{2a}$或x＞1．
∴f（x）在（-$\frac{1}{2a}$，1）上單調(diào)遞增；在（0，-$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）過（1，0）點，由（Ⅰ）得a≥-$\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，1）為減函數(shù)，
∴f（x）＞f（1）=0，符合題意．
當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$）遞減，在（-$\frac{1}{2a}$，1）上單調(diào)遞增，
∴f（-$\frac{1}{2a}$）＜f（1）=0，不符合題意．
∴a的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，二次不等式的解法，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．