Question

如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N  (點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），且。橢圓D：的焦距等于，且過點(diǎn)

( I ) 求圓C和橢圓D的方程；
(Ⅱ) 若過點(diǎn)M的動(dòng)直線與橢圓D交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)N在以弦AB為直徑的圓的外部，求直線斜率的范圍。

Answer 1

（1），
（2）

試題分析：）解：（1）設(shè)圓半徑為r, 由條件知圓心C（r,2）

∵圓在x軸截得弦長MN=3
∴ ∴r=
∴圓C的方程為：  （3分）
上面方程中令y=0,得 解得x=1或x="4," ∵點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)
∴M（4,0）,N(1,0)
∵橢圓焦距2c=2=2  ∴c=1   ∴橢圓方程可化為：
又橢圓過點(diǎn)（ 代入橢圓方程得：
解得或（舍）   ∴橢圓方程為：           （6分）
（2）設(shè)直線l的方程為：y="k(x-4)" 代入橢圓方程化簡得：
（
△=32＞0       ＜
設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)      則x₁+x₂=   x₁x₂=       (7分)
∵點(diǎn)N在以弦AB為直徑的圓的外部，＞0
∴（＞0
即：＞0
-（+＞0
化簡得：＞        ∴＜＜    ∴k∈       
點(diǎn)評：主要是考查了圓的方程，以及橢圓性質(zhì)的運(yùn)用，并聯(lián)立方程組設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，屬于中檔題。