已知f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2,a∈R),
(Ⅰ)若f(x)能表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)的和,求g(x)和h(x)的解析式;
(Ⅱ)若f(x)和g(x)在區(qū)間(-∞,(a+1)2]上都是減函數(shù),求a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,比較f(1)和
16
的大。
分析:(I)根據(jù)題意可知f(x)=g(x)+h(x),再根據(jù)奇偶性求出f(-x),從而建立方程組,解之即可求出g(x)和h(x)的解析式;
(Ⅱ)先對函數(shù)f(x)進行配方求出對稱軸,利用f(x)在區(qū)間(-∞,(a+1)2]上是減函數(shù),建立關(guān)系式可求出a的范圍,然后根據(jù)函數(shù)g(x)=(a+1)x是區(qū)間(-∞,(a+1)2]上減函數(shù),建立關(guān)系求出a的范圍,從而可得結(jié)論;
(Ⅲ)表示出f(1),確定相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,可得結(jié)論.
解答:解:(I)∵f(x)=g(x)+h(x),g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x)
∴f(-x)=-g(x)+h(x)
∴g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|,-g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|,
∴g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+lg|a+2|;
(Ⅱ)由函數(shù)g(x)=(a+1)x在(-∞,(a+1)2]上是減函數(shù),得a+1<0,∴a<-1且a≠-2
函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|=(x+
a+1
2
)2-
(a+1)2
4
+lg|a+2|在區(qū)間(-∞,(a+1)2]上是減函數(shù),
∴(a+1)2≤-
a+1
2
,解得-
3
2
≤a≤-1
∵f(x)和g(x)在區(qū)間(-∞,(a+1)2]上都是減函數(shù),
∴-
3
2
≤a<-1;
(Ⅲ)f(1)=1+(a+1)+lg|a+2|=a+2+lg|a+2|(-
3
2
≤a<-1)
F(a)=a+2+lg|a+2|在[-
3
2
,-1)上是增函數(shù)
∴f(1)≥=-
3
2
+2+lg|-
3
2
+2|=
1
2
+lg
1
2
1
6
點評:本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查大小比較,正確運用函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R的定義域為[-1,1].
(1)記|f(x)|的最大值為M,求證:M≥
1
2
.
(2)求出(1)中的M=
1
2
時,f(x)
的表達式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x2+x+1,則f(
2
)
=
 
;f[f(
2
)
]=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x2+2x,數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=f′(an)-n-1,數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=f(bn).
(1)求證:數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列;
(2)令cn=
1
an-n-1
,求證:c2+c3+…+cn
2
3
;
(3)求證:
1
3
1
1+b1
+
1
1+b2
+…+
1
1+bn
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=x2-x+k,若log2f(2)=2,
(1)確定k的值;
(2)求f(x)+
9f(x)
的最小值及對應(yīng)的x值.

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