△ABC中，設(shè)a、b、c分別為角A、B、C的對邊，角A的平分線AD交BC邊于D，A=60°．
（1）求證：AD=
3
bc
b+c
；
（2）若
BD
=2
DC
，AD=4
3
，求其三邊a、b、c的值．
分析：（1）將△ABC分成△ABD和△ACD，可得S△ABC=S△ABD+S△ACD．由三角形的面積公式建立等式并化簡整理，即可得到所求證的等式成立．
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角平分線定理，結(jié)合題意得到c=2b．由（1）中證出的等式，可得bc=4（b+c），兩式聯(lián)立解得到b=6，c=12．最后由余弦定理a2=b2+c2-2bccosB的式子算出邊a的長，即可得到三邊a、b、c的值．
解答：解：（1）根據(jù)題意，可得
S△ABC=S△ABD+S△ACD
由三角形的面積公式，得
1
2
•b•csin60°=
1
2
•c•AD•sin30°+
1
2
b•AD•sin30°
化簡整理，可得AD=
3
bc
b+c
．
（2）∵AD為三角形ABC的角平分線，且
BD
=2
DC
，
∴
c
b
=
|BD|
|DC|
=2，可得c=2b----①
又∵由（1）的結(jié)論，得AD=4
3
=
3
bc
b+c
，
∴bc=4（b+c），----②
由①②聯(lián)解，可得b=6，c=12
在△ABC中，由余弦定理得：
a2=b2+c2-2bccosB=62+122-2×6×12×
1
2
=108，可得a=6
3
（舍負）
綜上所述，三角形三邊a、b、c的值分別為a=6
3
，b=6，c=12．
點評：本題給出三角形的角平分線，在已知角A的大小情況下解三角形．著重考查了三角形的面積公式、向量的線性運算法則和正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，設(shè)a，b，c是角A，B，C所對的邊，S是該三角形的面積，且4cosBsin2
B
2
+cos2B=0．
（I）求角B的度數(shù)；
（II）若a=4，S=5
3
，求b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，設(shè)∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，用向量法證明：c2=a2+b2-2abcosC．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）在△ABC中，設(shè)a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為△ABC的面積，且滿足條件4sinB•sin2（
π
4
+
B
2
）+cos2B=1+
3
．
（Ⅰ）求∠B的度數(shù)；
（Ⅱ）若a=4，S=5
3
，求b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•閘北區(qū)二模）在△ABC中，設(shè)a、b、c分別是∠A、∠B、∠C所對的邊長，且滿足條件c=2，b=2a，則△ABC面積的最大值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在不等邊△ABC中，設(shè)A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知sin2A，sin2B，sin2C依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列
cosA
a
，
cosB
b
，
cosC
c
．
（1）試根據(jù)下列選項作出判斷，并在括號內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項的代號
B
B
．
A．是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列　　B．是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列
C．既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列　　D．既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列
（2）證明你的判斷．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案