Question

已知定義域為R的函數f（x）=

b-3x

a+3x+1

是奇函數
（1）求a，b的值；
（2）試討論函數f（x）的單調性；
（3）若對?t∈[1，32]，都有f（lo

g

2 2

t-log2t4）+f（log₂t-k）＜0，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）=

b-3x

a+3x+1

是定義域為R的奇函數，則f（0）=0，f（-1）=-f（1），代入構造關于a，b的方程，解方程可得a，b的值；
（2）利用分離常數法，我們將函數解析式化為f（x）=-

1

3

+

2

3(1+3x)

的形式，進而結合指數函數的單調性和分析法，可分析出函數f（x）的單調性；
（3）根據（1）（2）的結論，我們可將上述不等式轉化為k＜lo

g

2 2

t-3log2t對?t∈[1，32]恒成立，根據二次函數的圖象和性質可將恒成立問題轉化為最值問題進而得到k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=

b-3x

a+3x+1

是定義域為R的奇函數
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即

b-1

a+3

=0，

b-3

a+9

=-

b- 1 3

a+1

解得b=1，a=3
（2）由（1）得f（x）=

1-3x

3+3x+1

=-

1

3

+

2

3(1+3x)

∵函數y=1+3^x在R上單調遞增，
則函數y=

2

3(1+3x)

在R上單調遞減，
故函數f（x）在R上單調遞減
（3）由（1）（2）得函數f（x）在R上單調遞減的奇函數
∴f（lo

g

2 2

t-log2t4）+f（log₂t-k）＜0可化為
f（lo

g

2 2

t-log2t4）＜-f（log₂t-k）
即f（lo

g

2 2

t-log2t4）＜f（k-log₂t）
即lo

g

2 2

t-log2t4＞k-log₂t
即k＜lo

g

2 2

t-3log2t
令y=lo

g

2 2

t-3log2t（t∈[1，32]）
則當log2t=

3

2

時，函數取最小值為-

9

4

故k＜-

9

4

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性與函數單調性，及恒成立問題，是函數性質的綜合應用，難度屬于中檔．