Question

工廠生產某種零件，每天需要固定成本100元，每生產1件，還需再投入資金2元，若每天生產的零件能全部售出，每件的銷售收入P（x）（元）與當天生產的件數之間有以下關系：P(x)=

83- 1 3 x2，0＜x≤10 520 x - 1331 x3 ，x＞10

設當天利潤為y元．
（1）寫出y關于x的函數關系式；
（2）要使當天利潤最大，當天應生產多少零件？（注：利潤等于銷售收入減去總成本）

Answer 1

（1）當0＜x≤10時，y=x（83-

1

3

x²）-100-2x=-

1

3

x³+81x-100；當x＞10時，y=x（

520

x

-

1331

x3

）-2x-100=-2x-

1331

x2

+420．
∴y=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
（2）設函數y=h（x）=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
①當0＜x≤10時，y'=81-x²，令y'=0，得出x=9．當x∈（0，9）時，y'＞0；當x∈（9，10）時，y'＜0；故x=9時，y_max=386．
②當x＞10時，y'=

-2×1331

x3

-2，令y'=0，得出x=11，當x∈（10，11）時，y'＞0；當x∈（11，+∝）時，y'＜0；故x=11時，y_max=387．
結合①②知，當x=11時，y取最大值．
故要使當天利潤最大，當天應生產11件零件．