（2013•奉賢區(qū)二模）已知橢圓：
x2
9
+
y2
b2
=1(0＜b＜3)，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|
BF2
|+|
AF2
|的最大值為
36-2b2
3
36-2b2
3
．
分析：如圖所示，利用橢圓的定義得到|
BF2
|+|
AF2
|=12-|
AB
|．因此只有當(dāng)|
AB
|取得最小值時(shí)，|
BF2
|+|
AF2
|取得最大值，分AB⊥x軸和AB與x軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，利用弦長公式即可得出，通過比較得到|
AB
|的最小值．
解答：解：如圖所示，
由橢圓的定義可知：|
AF1
|+|
AF2
|=2×3=|
BF1
|+|
BF2
|，
∴|
BF2
|+|
AF2
|=12-|
AB
|．好
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，把x=-c代入橢圓的方程得
c2
9
+
y2
b2
=1，解得y=±
b2
3
，
此時(shí)，|
AB
|=
2b2
3
，則|
BF2
|+|
AF2
|=12-
2b2
3
=
36-2b2
3
；
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），A（x1，y1），
B（x2，y2）．
聯(lián)立
y=k(x+c)
x2
9
+
y2
b2
=1
，消去y得到（b2+9k2）x2+18k2cx+9k2c2-9b2=0，
∴x1+x2=-
18k2c
b2+9k2
，x1x2=
9k2c2-9b2
b2+9k2
，
∴|
AB
|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[(
-18k2c
b2+9k2
)2-
4(9k2c2-9b2)
b2+9k2
]

=
6b2(1+k2)
b2+9k2
＞
6b2(1+k2)
9+9k2
=
2b2
3
．
綜上可知：只有當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|
AB
|取得最小值，此時(shí)|
BF2
|+|
AF2
|取得最大值
36-2b2
3
．
故答案為
36-2b2
3
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義、分類討論的思想方法、直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
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x+y≥2
x≤1
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OA
•
OM
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[0，2]
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．

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4
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π
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1x
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70
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．

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