Question

（本題滿分12分）已知二次函數(shù)的最小值為－1，且，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求在上的單調(diào)區(qū)間與值域.

 

Answer 1

（Ⅰ）a=1, b=-4, c=3；（Ⅱ）[-1，8].

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,根據(jù)函數(shù)為二次函數(shù)，且f(1)=f(3)=0，可以得到函數(shù)對稱軸x=2，f(x)的最小值為-1，得到頂點坐標，設(shè)，不難求解得到a,進而得到函數(shù)解析式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）判斷對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系， 不難得到函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間，然后求得函數(shù)最值，進而得到函數(shù)值域．

試題解析：（Ⅰ） ∵ f(x)為二次函數(shù) f(1)=f(3)=0

∴對稱軸為x=2

∵二次函數(shù)f(x)的最小值為-1,

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為： 1分

∵f(1)=0 ∴a-1=0 即 a=1 2分

∴,

故a=1, b=-4, c=3 4分

（Ⅱ）f(x)的單調(diào)減區(qū)間為：[-1，2]，單調(diào)增區(qū)間為：[2，4] 8分

∴f(x)在x=2處取得最小值為-1, 9分

而f(x)在x=-1處取得最大值為8 10分

故f(x)在[-1，4]上的的值域為：[-1，8] 12分

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；函數(shù)解析式的求解及常用方法．