（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過
N點的切線交CA的延長線于P．
（1）求證：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2
3
，OA=
3
OM，求MN的長．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1，求實數(shù)a，b的值；
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
分析：A：（1）做出輔助線連接ON，根據(jù)切線得到直角，根據(jù)垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根據(jù)同角的余角相等，得到角的相等關(guān)系，得到結(jié)論．
（2）本題是一個求線段長度的問題，在解題時，應(yīng)用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所給的條件，得到要求線段的長．
B：設(shè)P（x，y）為曲線x2-2y2=1上任意一點，P′（x′，y′）為曲線x2+4xy+2y2=1上與P對應(yīng)的點，所以
x=x′+ay′
y=bx′+y′
，由此能夠求出a和b的值．
C：先兩邊同乘以ρ，利用公式即可得到圓的圓心和半徑，再將參數(shù)方程化為普通方程，結(jié)合直角坐標系下的點到直線的距離公式求解即得．
D：（1）根據(jù)（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，可得 a2+b2+c2 的最小值為
1
3
．
（2）由a，b，c均為正實數(shù)，可得
1
2
（
1
2a
+
1
2b
）≥
1
2
ab
≥
1
a+b
，同理
1
2
（
1
2b
+
1
2c
）≥
1
b+c
，
1
2
（
1
2c
+
1
2a
）≥
1
c+a
，相加可得不等式成立．
解答：解：A：（1）證明：連接ON，因為PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因為OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM2=PN2=PA•PC
（2）∵OM=2，BO=2
3
，BM=4
∵BM•MN=CM•MA=（2
3
+2）（2
3
-2）（2
3
-2）=8，
∴MN=2．
B：（1）設(shè)P（x，y）為曲線x2-2y2=1上任意一點，
P′（x′，y′）為曲線x2+4xy+2y2=1上與P對應(yīng)的點，
則
1a
b1
x′
y′
=
x
y
，
即
x=x′+ay′
y=bx′+y′
，
代入（x′+ay′）2-2（bx′+y′）2=1，
得（1-2b2）x'2+（2a-4b）x′y′+（a2-2）y'2=1，
∵方程x2+4xy+2y2=1，
∴
1-2b2=1
2a-4b=4
a2-2=2
，
解得a=2，b=0．
C：⊙C的方程化為ρ=cosθ-sinθ，兩邊同乘以ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ
由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x2+y2-x+y=0…（5分）
其圓心C坐標為（
1
2
，-
1
2
），半徑r=
2
2
，
又直線l的普通方程為3x+4y+1=0，
∴圓心C到直線l的距離d=
|
3
2
-2+1|
9+16
=
1
10
，
∴弦長AB=2
1
2
-
1
100
=
7
5
…（10分）
D：（1）因為a，b，c 均為正實數(shù)，由柯西不等式得，
（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=
1
3
時等號成立，
∴a2+b2+c2 的最小值為
1
3
． …5分
證明：（2）∵a，b，c均為正實數(shù)，
∴可得
1
2
（
1
2a
+
1
2b
）≥
1
2
ab
≥
1
a+b
，
同理
1
2
（
1
2b
+
1
2c
）≥
1
b+c
，
1
2
（
1
2c
+
1
2a
）≥
1
c+a
，
三個不等式相加得
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立．…10分
點評：考查切割線定理、用綜合法證明不等式、圓的極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式等．要求學(xué)生能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化．屬于中等題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共20分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點A，D為PA的中點，過點D引割線交⊙O于B、C兩點．求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
（B）（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M有特征值λ=8，其對應(yīng)的一個特征向量e=
1
1
，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點（-1，2）變換成點（-2，4），求矩陣M2．
（C）（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
（t為參數(shù)，t∈R）．試在曲線C上一點M，使它到直線l的距離最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB2=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實數(shù)，如果矩陣M=
1a
b2
所對應(yīng)的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標系與參數(shù)方程）
設(shè)M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的動點，判斷兩曲線的位置關(guān)系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c是不完全相等的正數(shù)，求證：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選做題：在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，AD是∠BAC的平分線，⊙O過點A且與BC邊相切于點D，與AB、AC分別交于E，F(xiàn)，求證：EF∥BC．

B．選修4-2：矩陣與變換
已知a，b∈R若矩陣M=
.
-1a
b3
.
所對應(yīng)的變換把直線l：2x-y=3變換為自身，求a，b的值．

C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
（t為參數(shù)）化為普通方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b是正數(shù)，求證：（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥
9
2
．

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