如圖,景點A在景點B的正北方向2千米處,景點C在景點B的正東方向2
3
千米處.
(Ⅰ)游客甲沿CA從景點C出發(fā)行至與景點B相距
7
千米的點P處,記∠PBC=α,求sinα的值;
(Ⅱ)甲沿CA從景點C出發(fā)前往景點A,乙沿AB從景點A出發(fā)前往景點B,甲乙同時出發(fā),甲的速度為1千米/小時,乙的速度為2千米/小時.若甲乙兩人之間通過對講機聯(lián)系,對講機在該景區(qū)內(nèi)的最大通話距離為3千米,問有多長時間兩人不能通話?(精確到0.1小時,參考數(shù)據(jù):
5
≈2.2,
15
≈3.9
考點:解三角形的實際應(yīng)用
專題:應(yīng)用題,解三角形
分析:(Ⅰ)在Rt△ABC中,求出∠C=30°,在△PBC中,由余弦定理,求得PC,在△PBC中,由正弦定理求sinα的值;
(Ⅱ)設(shè)甲出發(fā)后的時間為t小時,①當(dāng)1≤t≤4時,乙在景點B處,甲在線段PA上,甲乙間的距離d≤BP<3,此時不合題意;…(9分)
②當(dāng)0≤t<1時,設(shè)乙在線段AB上的位置為點Q,在△AMQ中,由余弦定理可得結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)在Rt△ABC中,AB=2,BC=2
3
,∴∠C=30°
在△PBC中,由余弦定理得BC2+PC2-2BC•PC•cos30°=BP2,即12+PC2-2×2
3
×PC×
3
2
=7

化簡,得PC2-6PC+5=0,解得PC=1或PC=5(舍去) …(3分)
在△PBC中,由正弦定理得
PC
sinα
=
PB
sin30°
,即
1
sinα
=
7
1
2

sinα=
7
14
…(6分)
(Ⅱ)Rt△ABC中,BA=2,BC=2
3
,AC=
BA2+BC2
=4

設(shè)甲出發(fā)后的時間為t小時,則由題意可知0≤t≤4,設(shè)甲在線段CA上的位置為點M,AM=4-t
在△PBC中,由余弦定理得BC2+PC2-2BC•PC•cos30°=BP2,
12+PC2-2×2
3
×PC×
3
2
=7
,化簡得PC2-6PC+5=0
解得PC=1或PC=5(舍去)
①當(dāng)1≤t≤4時,乙在景點B處,甲在線段PA上,甲乙間的距離d≤BP<3,此時不合題意;…(9分)
②當(dāng)0≤t<1時,設(shè)乙在線段AB上的位置為點Q,則AQ=2t
在△AMQ中,由余弦定理得,MQ2=(4-t)2+(2t)2-2×2t×(4-t)×cos60°=7t2-16t+16
令MQ>3即MQ2>9,得7t2-16t+7>0,解得t<
8-
15
7
t>
8+
15
7

0≤t<
8-
15
7
…(12分)
綜上,當(dāng)0≤t<
8-
15
7
時,甲、乙間的距離大于3米.
8-
15
7
≈0.6
,故兩人不能通話的時間大約為0.6小時 …(13分)
點評:本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,考查正弦定理、余弦定理的運用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點Z是復(fù)數(shù)z=
2-i
1+i
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點,則點Z在第
 
象限.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法中正確的是( �。�
A、“x>5”是“x>3”必要不充分條件
B、命題“對?x∈R,恒有x2+1>0”的否定是“?x∈R,使得x2+1≤0”
C、?m∈R,使函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函數(shù)
D、設(shè)p,q是簡單命題,若p∨q是真命題,則p∧q也是真命題

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(2x+1)的定義域為(0,1),求f(2x-1)的定義域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊是a,b,c,滿足2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
(1)求角A;    
(2)若b=2,c=1,D為BC上一點,且CD=2BD,求AD的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,b=4,A=
π
3
,面積s=2
3

(1)求BC邊的長度;
(2)求值:
sin2(
A
4
+
π
4
)+cos2B
cos
C
2
sin
C
2
+
sin
C
2
cos
C
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sinx+cos2x.
(1)求f(
π
4
)
的值.
(2)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x|2a-x|+2x,a∈R.
(1)若a=0,判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性,并加以證明;
(2)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若存在實數(shù)a∈[-2,2],使得關(guān)于x的方程f(x)-tf(2a)=0有三個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(x-
a
x
)9
的展開式中x3的系數(shù)為84,則a=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案