Question

f（x）為偶函數(shù)且定義域?yàn)閇-1，1]，g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）²，a為實(shí)數(shù)且；
（1）求f（x）解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）的最大值為12，求a．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，求出f（x）的解析式．
（2）先判斷f（x）在[0，1]的單調(diào)性，根據(jù)其是偶函數(shù)，分析出f（x）在[-1，0]的單調(diào)性．
（3）依據(jù)（2）中的結(jié)論，求出函數(shù)取最大值時(shí)x的值，代入求出a的值．
解答：解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（x）=g（2-x）．當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，則2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=2a（2-x-2）-3（2-x-2）²=-2ax+3x²，
即f（x）=-2ax+3x²
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱可得 f（x）=f（-x）=2ax+3x²
綜上所述，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=-2ax+3x²； 當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=f（-x）=2ax+3x²．
（2）在[0，1]上任取x₁，x₂滿足0≤x₁＜x₂≤1
則f（x₁）-f（x₂）=2ax₁+3x₁²-2ax₂-3x₂²
=2a（x_1^-x_2^）+3（x₁²-x₂²）
=[2a+3（x_1⁺x₂）]（x_1^-x₂） 
∵0≤x₁＜x₂≤1∴x_1^-x₂＜0，2a+3（x_1⁺x₂）＞0
即[2a+3（x_1⁺x₂）]（x_1^-x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增．
∵f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)可得f（x）在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞減
（3）由（2）可知函數(shù)最大值是f（1）或f（-1），
∴f（1）=2a-3=12，
解得a=
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用．此類題可能會(huì)與函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性等內(nèi)容一塊考查．