Question

已知函數(shù)f（x）滿足下列條件：
（Ⅰ）定義域?yàn)閇0，1]；
（Π）對(duì)于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；
（Ⅲ）當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，探究f（x）與2x的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）由函數(shù)f（x）滿足條件（Π）知f（0）≥0；（1分）
在條件（Ⅲ）中，令x₁=x₂=0得：f（0）≥f（0）+f（0），
∴f（0）≤0；（3分）
故f（0）=0．（4分）

（2）證明：對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有0≤y-x≤1成立；（5分）
由f（x）滿足條件（Π）可得：f（y-x）≥0；（6分）
再由f（x）滿足條件（Ⅲ）可得：
f（y）=f[（y-x）+x]≥f（y-x）+f（x）≥f（x），（8分）
即對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；（9分）

（3）當(dāng)時(shí)，2x≥1，
由第（2）問結(jié)論知f（x）≤f（1）=1，∴f（x）≤2x；
當(dāng)x=0時(shí)，由f（0）=0知f（x）≤2x也成立；
故可猜想：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）≤2x（10分）
下面用反證法證明猜想成立：
假設(shè)存在x_°∈[0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
由f（0）=0知x₀≠0，故必存在正整數(shù)k
使得x₀∈，∴x₀，2x₀，4x₀，，2^k-1x₀均在[0，1上，
由條件（Ⅲ）及假設(shè)知：
f（2x₀）=f（x₀+x₀）≥f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）＞4x₀，
故f（4x₀）＞8x₀，，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀；（12分）
∵x₀∈，∴，∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1
又∵2^kx₀≥1，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀，
∴f（2^k-1x₀）＞1，與f（2^k-1x₀）≤1矛盾，故假設(shè)不成立；
所以對(duì)于任意的0≤x≤1，都有f（x）≤2x成立．（14分）
分析：（1）觀察題設(shè)中的條件可知在條件（Π）中，令x=0可得f（0）≥0，在條件（Ⅲ）令x₁=0，x₂=0可得f（0）≤0，由此可以 推斷出f（0）=0．
（2）觀察發(fā)現(xiàn)f（y）=f[（y-x）+x]≥f（y-x）+f（x），欲證明命題成立，只須證明f（y-x）≥0，由于y-x≥0，由條
件（Π）即可得，故問題可證．
（3）探究f（x）與2x的大小關(guān)系，可先代入一些特殊值進(jìn)行探究，確定證明方向再用反證法證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其運(yùn)用，考查通過靈活賦值求函數(shù)的值，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)靈活變形證明不等式本題難度較大，需要答題者有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及較強(qiáng)的運(yùn)用知識(shí)創(chuàng)新解題的方法，是一個(gè)能力型較強(qiáng)的題．題后應(yīng)好好總結(jié)本題綜合利用知識(shí)變形的規(guī)律，創(chuàng)新應(yīng)用知識(shí)構(gòu)造問題的解決方法是一種重要的數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要注意培養(yǎng)這一能力．