Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，且

OM

=

3

2

OF2

，過點(diǎn)F₂的直線與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，且AM⊥x軸，

AF1

•

AF2

=0
（1）求橢圓的離心率；（2）若△ABF₁的周長為4

6

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（x₀，y₀），利用橢圓的離心率為e，推斷出|AF₁|=a+ex₀、|AF₂|=a-ex₀得

AF1

•

AF2

=0，進(jìn)而利用a，b和c的關(guān)系求得a和c的關(guān)系及橢圓的離心率．
（2）根據(jù)題意，△ABF₂的周長為4

6

，即BF₂+AF₂+BF₁+AF₁=4

6

，結(jié)合橢圓的定義，即可得a的值；又由橢圓的離心率，可得c的值，進(jìn)而可得b的值；由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可得橢圓的方程．

解答：解：（1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（x₀，y₀），橢圓的離心率為e，則M(

3

2

c，0)，x0=

3

2

c．
∵

|AF1|

x0+ a2 c

=e，∴|AF₁|=a+ex₀．…（2分）
同理|AF₂|=a-ex₀．…（3分）
∵

AF1

•

AF2

=0，∴AF₁⊥AF₂，∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
∴（a+ex₀）²+（a-ex₀）²=4c²即a²+e²x₀²=2c²．
∵x0=

3

2

c，∴a2+e2•

3

4

c2=2c2，…（5分）
∴1+

3

4

e4=2e2，即3e4-8e2+4=0，…（7分）
∴e2=

2

3

或e2=2(舍去)…（9分）
所以橢圓的離心率e=

6

3

．…（10分）
（2）∵△ABF₂的周長為4

6

，∴4a=4

6

，a=

6

…（12分）
又∵

c

a

=

6

3

∴c=2，…．（13分）
∴b²=2．∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1…．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，此類題型一般與焦點(diǎn)三角形聯(lián)系，難度一般不大；注意結(jié)合橢圓的基本幾何性質(zhì)解題，注意利用題設(shè)中a，b和c的關(guān)系．