Question

已知函數(shù)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn).
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）f(x)＝lnx＋; （Ⅱ）f(x)的取值范圍是[1，ln5＋]．

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義確定曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的斜率，然后借助切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)建立等量關(guān)系；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的定義域，借助求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的最大值和最小值.
試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝－＝．
則f¢(2)＝，f(2)＝ln2＋．
則曲線(xiàn)y＝f(x)在(2，f(2))處的切線(xiàn)為y＝ (x－2)＋ln2＋，
即y＝x＋m－1＋ln2．                                      3分
依題意，m－1＋ln2＝ln2，所以m＝1．
故f(x)＝lnx＋．                                             5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝lnx＋，f¢(x)＝．
當(dāng)x∈[，1]時(shí)，f¢(x)≤0，f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)，f(x)∈[1，2－ln2]；
當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，f¢(x)≥0，f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)，f(x)∈[1，ln5＋]．  10分
因?yàn)?ln5＋)－(2－ln2)＝ln10－＞lne²－＝，
所以ln5＋＞2－ln2．
因此，f(x)的取值范圍是[1，ln5＋]．                                12分