Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2BC=2，且AC⊥CB，O為線段AC的中點．
（Ⅰ）在BC₁上確定一點E，使得OE∥平面A₁ABB₁，并說明理由；
（Ⅱ）求直線BC₁與平面A₁BC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取E是BC₁中點，AB中點D，BB₁中點F，證明ODFE是平行四邊形，得OE∥DF，問題解決．
（2）作C₁H垂直 A₁C于H連接HB，證明∠C₁BH為直線BC₁與平面A₁BC所成角，在直角三角形C₁BH中計算．

解答：解：（1）如圖，設(shè)E是BC₁中點，

取AB中點D，BB₁中點F，連接
OD，DF，EF，，在△ABC中OD是中位線，OD∥BC，OD=

1

2

BC，，同理EF∥BC，EF=

1

2

BC
∴ODFE是平行四邊形，∴OE∥DF
∵OE?面A₁ABB₁，DF?面A₁ABB₁∴OE∥平面A₁ABB₁．
（2）如圖，作C₁H垂直 A₁C于H連接HB，
                                    
∵側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，AC⊥CB
∴BC⊥面AA₁C₁C，∵BC?面A₁BC，∴面A₁BC⊥面AA₁C₁C，且面A₁BC∩面AA₁C₁C=A₁C
∴C₁H⊥面A₁BC，∴∠C₁BH為直線BC₁與平面A₁BC所成角．
∵△A₁C₁C是邊長為2 的正三角形∴，H為A₁C的中點  C₁H=

3

在直角三角形BCA₁中，
BH=

BC2+CH2

=

2

．
tan∠C₁BH=

C1H

BH

=

3

2

=

6

2

點評：本題考查線面平行的判定，線面角的求解．考查空間想象能力，空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的能力，以及計算能力．