Question

△ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其對邊a，b，c滿足2b²=3ac，
（1）求A；
（2）若a=1，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，整理表示出a，利用正弦定理化簡，求出A的度數(shù)即可；
（2）把a(bǔ)的值代入已知等式，得到關(guān)系式，分A=90°和A=30°兩種情況求出bc的值，進(jìn)而求出三角形ABC的面積．

解答： 解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∵A+C+B=180°，
∴3B=180°，即B=60°，
∴A+C=120°，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∵2b²=3ac，
∴2（a²+c²-ac）=3ac，即（a-2c）（a-

c

2

）=0，
解得：a=2c或a=

c

2

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：

a

c

=

sinA

sinC

=

sinA

sin(120°-A)

=2或

1

2

，
整理得：

3

cosA=0或3sinA=

3

cosA，即tanA=

3

3

，
解得：A=90°或30°；
（2）∵a=1，2b²=3ac，
∴2b²=3c①，
當(dāng)A=90°時(shí)，△ABC為直角三角形，
∴b²+c²=a²=1②，
聯(lián)立①②解得：b=

3

2

，c=

1

2

，
此時(shí)S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

8

；
當(dāng)A=30°時(shí)，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即1=b²+c²-

3

bc③，
聯(lián)立①③得：bc=2

3

，
此時(shí)S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．