已知正數(shù)a，b，c，d滿足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求證：
a
+
b
＜
c
+
d
．
分析：只需證明(
a
+
b
)2＜(
c
+
d
)2，只需證明ab＜cd，只需證明 b（a-c）＜c（d-b），只需證明（a-c）（b-c）＜0． 由于 a-c＜0，故只需證明b-c＞0，而b-c＞0顯然成立．
解答：證明：要證明
a
+
b
＜
c
+
d
，只需證明(
a
+
b
)2＜(
c
+
d
)2，
需證明a+b+2
ab
＜c+d+2
cd
．∵a+b=c+d，故只需證明ab＜cd，
需證明ab-bc＜cd-bc，只需證明 b（a-c）＜c（d-b）．∵a+b=c+d，即（a-c）=（d-b），
只需證明（a-c）（b-c）＜0．∵a-c＜0，需證明b-c＞0，
而b-c＞0顯然成立，∴
a
+
b
＜
c
+
d
成立．證畢．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用分析法證明不等式，尋找使不等式成立的充分條件，是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正數(shù)a，b，c滿足：ab+bc+ca=1．
（1）求證：（a+b+c）2≥3；（2）求a
bc
+b
ac
+c
ab
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）已知正數(shù)a、b、c滿足a+b＜2c，求證：c-
c2-ab
＜a＜c+
c2-ab
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則
ba
的取值范圍是
[e，7]
[e，7]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•石景山區(qū)二模）已知正數(shù)a，b，c滿足a+b=ab，a+b+c=abc，則c的取值范圍是
(1，
4
3
]
(1，
4
3
]
．

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