已知雙曲線C的漸近線為y=±
3
x且過點M（1，
2
）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA與OB垂直，求a的值．
（1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，
則
b
a
=
3
1
a2
-
2
b2
=1
，解得
a2=
1
3
b2=1
，
∴雙曲線C的方程為3x2-y2=1．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立
y=ax+1
3x2-y2=1
，化為（3-a2）x2-2ax-2=0，（3-a2≠0）．
∵直線y=ax+1與雙曲線C相交于A，B兩點，∴△=4a2+8（3-a2）＞0，化為a2＜6．
∴x1+x2=
2a
3-a2
，x1x2=
-2
3-a2
．（*）
∵
OA
⊥
OB
，∴
OA
•
OB
=0．
∴x1x2+y1y2=0，又y1=ax1+1，y2=ax2+1，
∴（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=0，
把（*）代入上式得
-2(1+a2)
3-a2
+
2a2
3-a2
+1=0，
化為a2=1．滿足△＞0．
∴a=±1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知為橢圓E的兩個左右焦點，拋物線C以為頂點，為焦點，設(shè)P為橢圓與拋物線的一個交點，如果橢圓離心率e滿足，則e的值為（ ）

M

 
A.             B.          C.          D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過點P且與拋物線交于另一點Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過點F，求弦長|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點S，與y軸交于點T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直線l：x-y=0與橢圓
x2
2
+y2=1相交A、B兩點，點C是橢圓上的動點，則△ABC面積的最大值為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)拋物線y2=2px（p為常數(shù)）的準(zhǔn)線與X軸交于點K，過K的直線l與拋物線交于A、B兩點，則
OA
•
OB
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內(nèi)的一點，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點，如果D恰是PB的中點．
（1）求證：無論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過橢圓的上焦點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過點（-3，2），⊙O的圓心為原點，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點為Q，當(dāng)弦PQ最大時，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點，若點C(
3
2
，
3
2
)在橢圓上，且滿足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O為坐標(biāo)原點）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓交于兩點M，N，當(dāng)
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)時，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C過定點F（-
1
4
，0），且與直線x=
1
4
相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點．
（I）求曲線E的方程；
（II）當(dāng)△OAB的面積等于
10
時，求k的值；

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同步練習(xí)冊答案