設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.數(shù)列滿足:.

(1)求的通項(xiàng).并比較與的大小;

(2)求證:.

 

【答案】

(1) .。

(2)首先我們證明當(dāng)時,

事實(shí)上,記. ∵

由(1)時,. ∴. 而.

∴當(dāng)時,即. 從而.

【解析】

試題分析：(1)由  ①  當(dāng)時,.

當(dāng)時, ② 由①-②有. ∵

∴是2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. 從而.

設(shè)

∵. ∴時, . 當(dāng)時,

又. ∴當(dāng)時,即.

當(dāng)時,顯見

(2)首先我們證明當(dāng)時,

事實(shí)上,記. ∵

由(1)時,. ∴. 而.

∴當(dāng)時,即. 從而.

當(dāng)時,不等式的

左

容易驗(yàn)證當(dāng)時,不等式也顯然成立.

從而對,所證不等式均成立.

考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，“放縮法”，不等式的證明。

點(diǎn)評：典型題，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般地，通過布列方程組，求相關(guān)元素。涉及數(shù)列不等式的證明問題，“放縮、求和、證明”和“數(shù)學(xué)歸納法”等證明方法，能拓寬學(xué)生的視野。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。

（Ⅰ）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對任意正整數(shù)都有。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且；數(shù)列為等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和． 求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009高考真題匯編3-數(shù)列 題型：解答題

（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。
（Ⅰ）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對任意正整數(shù)都有。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)數(shù)列、滿足，，，．

（1）證明：，（）；

（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省揚(yáng)州中學(xué)09-10學(xué)年高二下學(xué)期期中考試（文科） 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對一切，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.
（1）求a1，a2，a3值，并求的表達(dá)式；
（2）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計(jì)算各個括號內(nèi)所有項(xiàng)之和，并設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；w*w^w.k&s#5@u.c~o*m
（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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