Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin（ωx-

π

3

）-cos（ωx-

π

3

）（ω＞0）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（I）求f（

π

8

）的值；
（II）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）圖象，求g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（I）利用兩角差的正弦函數(shù)以及誘導公式化簡函數(shù)的表達式，圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，求出函數(shù)的周期，求出ω然后，直接求f（

π

8

）的值；
（II）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）圖象，求出函數(shù)的解析式．然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)性．

解答：解：（I）函數(shù)f(x)=

3

sin（ωx-

π

3

）-cos（ωx-

π

3

）
=2sin（ωx-

π

3

-

π

6

）=2sin（ωx-

π

2

）=-2cos（ωx）…（3分）
由條件兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
所以T=π，T=

2π

ω

，所以ω=2，∴f（x）=-2cos2x，f（

π

8

）=-

2

…（6分）
（II）函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）圖象，
所以g（x）=-2cos（2x-

π

3

），
令2kπ-π≤2x-

π

3

≤2kπ，k∈Z，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
又x∈[0，

π

2

]
所以g（x）在[0，

π

6

]上遞減，在[

π

6

，

π

2

]上遞增…（13分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查計算能力．