Question

15．正四面體ABCD中各棱長(zhǎng)為2，E為AC的中點(diǎn)，則BE與CD所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)E為AC的中點(diǎn)，取AD的中點(diǎn)F，可得CD∥EF，則BE與CD所成角為∠BEF．正四面體ABCD中各棱長(zhǎng)為2，可得BF，BE，EF的長(zhǎng)度，利用余弦定理求解即可．

解答 解：由題意，E為AC的中點(diǎn)，取AD的中點(diǎn)F，
可得CD∥EF，
則BE與CD所成角即可轉(zhuǎn)化為∠BEF．
∵ABCD是正四面體，各棱長(zhǎng)為2．
∴ABC是等邊三角形，E是中點(diǎn)，BE⊥AC，
同理：BF⊥AD，∴BF=BE=$\sqrt{3}$．
∵CD∥EF，
∴EF=1．
那么cos∠BEF=$\frac{E{F}^{2}+B{E}^{2}-B{F}^{2}}{2EF•BE}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．
即BE與CD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．