Question

14．如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PA⊥BC，BC⊥AB，從而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能證明AM⊥平面PBC．
（Ⅱ）在平面ABC內，作Az∥BC，則AP，AB，Az兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系A-xyz．利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．
因為BC⊥AB，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB．…（2分）
所以AM⊥BC．…（3分）
因為PA=AB，M為PB的中點，
所以AM⊥PB．…（4分）
所以AM⊥平面PBC．…（5分）
解：（Ⅱ）如圖，在平面ABC內，作Az∥BC，則AP，AB，Az兩兩互相垂直，
建立空間直角坐標系A-xyz．
則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．
$\overrightarrow{AP}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（0，2，1），$\overrightarrow{AM}$=（1，1，0）．…（8分）
設平面APC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2）．…（10分）
由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{AM}$=（1，1，0）為平面BPC的法向量，
設二面角A-PC-B的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（12分）
所以二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（13分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．