6．已知函數(shù)f（x）=|x+2|．
（1）解不等式2f（x）＜4-|x-1|；
（2）已知m+n=1（m＞0，n＞0），若不等式$|{x-a}|-f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）通過去掉絕對值符號化簡不等式求解即可．
（2）利用基本不等式求解最值，利用絕對值不等式的幾何意義轉(zhuǎn)化恒成立不等式求解a的范圍即可．

解答 解：（1）不等式2f（x）＜4-|x-1|等價于2|x+2|+|x-1|＜4，即$\left\{\begin{array}{l}x≤-2\\-2（{x+2}）-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-2＜x＜1\\ 2（{x+2}）-x+1＜4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ 2（{x+2}）+x-1＜4\end{array}\right.$．解得$\left\{{x|-\frac{7}{3}＜x≤-2}\right\}$或{x|-2＜x-1}或∅，
所以不等式的解集為$\left\{{x|-\frac{7}{3}＜x＜-1}\right\}$．
（2）因為|x-a|-f（x）=|x-a|-|x+2|≤|x-a-x-2|=|a+2|，所以|x-a|-f（x）的最大值是|a+2|，
又m+n=1（m＞0，n＞0），于是$（{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}）（{m+n}）=\frac{n}{m}+\frac{m}{n}+2≥2+2=4$，∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為4．
要使$|{x-a}|-f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的恒成立，則|a+2|≤4，解此不等式得-6≤a≤2．
所以實數(shù)a的取值范圍是[-6，2]．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計算能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱相等，體積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AB=BC=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，則三棱錐S-ABC外接球的體積為$\frac{32}{3}$π．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．已知D，E是△ABC邊BC的三等分點，點P在線段DE上，若$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，則xy的取值范圍是（　�。�
A．[$\frac{1}{9}$，$\frac{4}{9}$]B．[$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]C．[$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{2}$]D．[$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=5-2t}\\{y=3-t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），定點P（1，1）．
（Ⅰ）以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，單位長度與平面直角坐標(biāo)系下的單位長度相同建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l與圓C相交于A，B兩點，求||PA|-|PB||的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果k=（　　）
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知A，B分別為橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右頂點，P為橢圓C上異于A，B兩點的任意一點，直線PA，PB的斜率分別記為k1，k2．
（1）求k1k2；
（2）過坐標(biāo)原點O作與直線PA，PB平行的兩條射線分別交橢圓C于點M，N，問：△MON的面積是否為定值？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．下表是某校高三一次月考5個班級的數(shù)學(xué)、物理的平均成績：
班級12345
數(shù)學(xué)（x分）111113119125127
物理（y分）92939699100
（Ⅰ）一般來說，學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求兩個變量x，y的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）從以上5個班級中任選兩個參加某項活動，求至少有一個班級數(shù)學(xué)平均分在115分以上的概率．
附：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知向量$\overrightarrow m=（2acosx，sinx）$，$\overrightarrow n=（cosx，bcosx）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，函數(shù)f（x）在y軸上的截距為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，與y軸最近的最高點的坐標(biāo)是$（\frac{π}{12}，1）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位，再將圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y=sinx的圖象，求φ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．設(shè)f（x）=|x+a|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（a）＞1的解集；
（Ⅱ）當(dāng)x∈R時，f（x）≤2a（a∈R），求實數(shù)a的取值范圍．

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