Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

3

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上得S_n=3n²-2n，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，即可求使得T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

解答：解：（1）由點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上得S_n=3n²-2n．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3×1²-2×1=1=1，滿足上式．
所以a_n=6n-5（n∈N^*）．
（2）由（1）得b_n=

3

anan+1

=

3

(6n-5)[6(n+1)-5]

=

1

2

(

1

6n-5

-

1

6n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

[1-

1

7

+

1

7

-

1

13

+

1

13

-

1

19

+…+

1

6n-5

-

1

6n+1

]=

1

2

-

1

2(6n+1)

＜

1

2

．
因此，使得T_n＜

m

20

（n∈N^*）成立的m必須且僅須滿足

1

2

≤

m

20

，即m≥10，
故滿足要求的最小整數(shù)m=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確求數(shù)列的和是關(guān)鍵．