Question

（1）已知f（x）=

x

x+2

，用定義法證明：f（x）在（-∞，-2）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）設(shè)a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法證明：f（x）在（-∞，-2）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論．

解答： （1）證明：x₁＜x₂＜-2，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1+2

-

x2

x2+2

=

x1(x2+2)-x2(x1+2)

(x1+2)(x2+1)

=

2(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
∵x₁＜x₂＜-2，
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＜0，x₂+2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上是增函數(shù)；
（2）解：∵a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=

e-x

a

+

a

e-x

=f（x），
即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
即

1

aex

+aex=

ex

a

+

a

ex

，
則（

1

a

-a）•

1

ex

=（

1

a

-a）•e^x，
即（

1

a

-a）（ex-

1

ex

）=0，
則

1

a

-a=0，
即a²=1，解得a=±1，
∵a＞0，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的證明和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．