Question

已知函數(shù)f（x）=

1

|x+2|

+x
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-2，-1）上的單調(diào)性并加以證明；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2|x|-m有四個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)零點的判定定理

專題：數(shù)形結合,分類法,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）函數(shù)f（x）在（-2，-1）上是減函數(shù)，用單調(diào)性定義證明即可；
（2）解法一：函數(shù)g（x）=f（x）-2|x|-m有四個不同的零點，即f（x）的圖象與y=2|x|+m的圖象
有四個不同的交點，結合圖象求出m的取值范圍；
解法二：函數(shù)g（x）=f（x）-2|x|-m有四個不同的零點，即方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有四個不同的實根，
討論函數(shù)h（x）=

1

|x+2|

的圖象與y=2|x|-x+m的圖象交點情況，求出m的取值范圍；
解法三：函數(shù)g（x）有4個不同零點，即方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有4個不同的實根，去掉絕對值，
方程化為①

x≥0 x2+(m+2)x+(2m-1)=0

與②

x＜-2 3x2+(6-m)x-(2m+1)=0

與③

-2＜x＜0 3x2+(6-m)x-(2m-1)=0

，討論方程組解的情況，求出m的取值范圍；
解法四：函數(shù)g（x）都有4個不同零點，即方程m=

1

|x+2|

+x-2|x|有4個不同的實根，
令h（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|，考查h（x）的單調(diào)性與值域，求出方程h（x）=m有4個實根的m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1

|x+2|

+x=

1 x+2 +x，x＞-2 - 1 x+2 +x，x＜-2

，
函數(shù)f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減，
證明如下：
設x₁、x₂∈（-2-1），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1+2

-

1

x2+2

）+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[1-

1

(x1+2)(x2+2)

]；   
∵-2＜x₁＜x₂＜-1，∴x₁-x₂＜0，
0＜（x₁+2）（x₂+2）＜1，
∴1-

1

(x1+2)(x2+2)

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減；

（2）解法一：
∵函數(shù)g（x）=f（x）-2|x|-m有四個不同的零點，
∴函數(shù)f（x）=

1

|x+2|

+x的圖象與函數(shù)y=2|x|+m的圖象有四個不同的交點； 
結合圖象，得①當x＜-2 時，
函數(shù)f（x）=-

1

x+2

+x的圖象與函數(shù)y=2|x|+m的圖象恰有一個交點，
②當x＞-2 時，為滿足g（x）有4個不同的零點，則函數(shù)f（x）=

1

x+2

+x（x＞-2）的圖象
與函數(shù)y=2|x|+m圖象恰有三個交點符合要求，而f（x）=

1

x+2

+x（x＞-2）過點（0，

1

2

），
結合圖象知，m＜

1

2

； 
當直線y=-2x+m與y=

1

x+2

+x（x＞-2）相切時，在（-2，+∞）內(nèi)只有兩個交點；
∴

y= 1 x+2 +x y=-2x+m

，消去y，得

1

x+2

+3x-m=0；
整理，得3x²+（6-m）x+1-2m=0，
△=（6-m）²-4×3（1-2m）=0，
解得m=-6-2

3

（舍去），m=-6+2

3

；  
∴當m∈（6+2

3

，

1

2

）時，函數(shù)g（x）有4個零點．
解法二：
∵函數(shù)g（x）=f（x）-2|x|-m有四個零點，
∴方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有四個實根，
即函數(shù)h（x）=

1

|x+2|

的圖象與函數(shù)y=2|x|-x+m的圖象有四個交點，
∴函數(shù)h（x）=

1

|x+2|

的圖象與函數(shù)y=

x+m，x≥0 -3x+m，x＜0

得圖象有四個交點；
①當x≥0 時，若函數(shù)h（x）=

1

x+2

的圖象與函數(shù)y=x+m的圖象有一個交點，則m≤

1

2

； 
②當x＜0 時，若函數(shù)h（x）=

1

|x+2|

（x＜0）的圖象
與函數(shù)y=-3x+m的圖象恰好有3個交點符合要求，則m＜

1

2

；    
當直線y=-3x+m與y=

1

x+2

（x＞-2）相切時，
在（-∞，0）內(nèi)只有兩個交點，
∴

y= 1 x+2 ，x＞-2 y=-3x+m

，消去y，得

1

x+2

=-3x+m，
整理，得3x²+（6-m）x+1-2m=0，
△=（6-m）²-4×3（1-2m）=0，
解得m=-6-2

3

（舍去），m=-6+2

3

； 
∴當m∈（6+2

3

，

1

2

）時，函數(shù)g（x）有4個零點．
解法三：
函數(shù)g（x）有4個不同零點，即方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有4個不同的實根；
方程化為：①

x≥0 x2+(m+2)x+(2m-1)=0

與②

x＜-2 3x2+(6-m)x-(2m+1)=0

與③

-2＜x＜0 3x2+(6-m)x-(2m-1)=0

；
記v（x）=x²+（m+2）x+（2m-1），u（x）=3x²+（6-m）x-（2m+1），
w（x）=3x²+（6-m）x-（2m-1），
則u（x）、v（x）、w（x）開口均向上；
對①：由v（-2）=-1＜0知v（x）在[0，+∞）最多一個零點，
當v（0）=2m-1≤0，即m≤

1

2

時，v（x）在[0，+∞）上有一個零點，
當v（0）=2m-1＞0，即m＞

1

2

時，v（x）在[0，+∞）沒有零點； 
對②：由u（-2）=-1＜0知u（x）在（-∞，-2）有唯一零點；
對③：為滿足g（x）有4個零點，w（x）在（-2，0）應有兩個不同零點；
∴

w(0)=1-2m＞0 w(-2)=1＞0 △=(6-m)2-12(1-2m)＞0 -2＜- 6-m 6 ＜0

，
解得-6+2

3

＜m＜

1

2

；
綜上所述：當m∈（6+2

3

，

1

2

）時，函數(shù)g（x）有4個零點．
解法四：
函數(shù)g（x）都有4個不同零點，即方程m=

1

|x+2|

+x-2|x|有4個不同的實根；
令h（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|，則h（x）=

- 1 x+2 +3x，x＜-2 1 x+2 +3x，-2＜x＜0 1 x+2 -x，x≥0

；
∵h（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞增，且其值域為R，
∴h（x）=m在（-∞，-2）有一個實根；
又∵h（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，且其值域為（-∞，

1

2

]，
∴當m≤

1

2

時，h（x）=m在[0，+∞）上有一個實根，
當m＞

1

2

時，h（x）=m在[0，+∞）上沒有實根；
為滿足g（x）都有4個不同零點，h（x）=m在（-2，0）至少有兩個實根；
當-2＜x＜0時，h（x）=

1

x+2

+3（x+2）-6≥2

3

-6，
∴h（x）在（-2，-2+

1

3

]單調(diào)遞減，且此時值域為[2

3

-6，+∞），
h（x）在[-2+

1

3

，0）單調(diào)遞增，且此時值域均為[2

3

-6，

1

2

）；．
∴m∈（6+2

3

，

1

2

）時，方程h（x）=m在（-2，0）有兩個實根 
綜上所述：當m∈（6+2

3

，

1

2

）時，函數(shù)g（x）有4個零點．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，
考查了函數(shù)的零點與方程的實數(shù)根的應用問題，是綜合性題目．