Question

在直角坐標(biāo)系O-xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0），=（0，0，1）．
（1）求與的夾角α的大��；
（2）設(shè)n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；
（3）求OA與平面SBC的夾角；
（4）求點(diǎn)O到平面SBC的距離；
（5）求異面直線SC與OB間的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）：利用向量的幾何意義a•b=|a||b|cosα變形可求出α；
（2）：n⊥平面SBC，n就垂直于平面內(nèi)所有直線，則n⊥且n⊥，垂直就點(diǎn)積為零從而就求出p和q得出n；
（3）：OA與平面SBC所成的角θ和OA與平面SBC的法線所夾角互余，故可先求與n所成的角，利用a•b=|a||b|cosα求出α，再用-α；
（4）：點(diǎn)O到平面SBC的距離即為在n上的投影的絕對(duì)值故求出d即可；
（5）：在異面直線SC、OB的公垂線方向上的投影的絕對(duì)值即為兩條異面直線間的距離，故先求與SC、OB均垂直的向量m．則m⊥且m⊥，用點(diǎn)積為零求出m，最后異面直線SC與OB間的距離為在m上的投影的絕對(duì)值故求出d′即可．
解答：解：（1）如圖，=-=（2，0，-1），
=+=（1，1，0），
則||==，||==．
cosα=cos＜，＞===，α=arccos．

（2）∵n⊥平面SBC，∴n⊥且n⊥，
即
∵=（2，0，-1），=-=（1，-1，0），
∴，∴即n=（1，1，2）．

（3）OA與平面SBC所成的角θ和OA與平面SBC的法線所夾角互余，
故可先求與n所成的角.=（0，1，0），
||=1，|n|==．
∴cos＜，n＞===，
即＜，n＞=arccos．∴θ=-arccos．

（4）點(diǎn)O到平面SBC的距離即為在n上的投影的絕對(duì)值，
∴d=|•|==．
（5）在異面直線SC、OB的公垂線方向上的投影的絕對(duì)值即為兩條異面直線間的距離，
故先求與SC、OB均垂直的向量m．
設(shè)m=（x，y，1），m⊥且m⊥，
則m•=0，且m•=0．
∴即
∴m=（，-，1），d′=|•|==．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性題，考查知識(shí)比較全面．向量的幾何意義a•b=|a||b|cosα；向量垂直⇒a•b=0；向量在異面直線公垂線方向上的投影的絕對(duì)值即為兩條異面直線間的距離．