Question

已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，且過點(diǎn)（1，），橢圓C的焦點(diǎn)與曲線的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F任作橢圓C的一條弦PQ，直線AP、AQ分別交直線x=4于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)分別為m、n．請(qǐng)問以線段MN為直徑的圓是否經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）問的條件下，求以線段MN為直徑的圓的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，橢圓C的焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），且過點(diǎn)（1，），由橢圓的定義，可得a的值，從而可求橢圓C的方程；
（2）假設(shè)以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，由（1）知F（1，0），分類討論：①當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+y²=9，可得以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)（1，0），（7，0）；②當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，可得以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+（y-）²=，驗(yàn)證（1，0），（7，0）在圓上；
（3）由（2）知，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)（1，0），（7，0），故可得線段MN為直徑的圓的半徑的最小值，從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）由題意，橢圓C的焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），且過點(diǎn)（1，），
由橢圓的定義，可得2a=4，∴a=2
∴b²=a²-1=3
∴橢圓C的方程為；
（2）假設(shè)以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，由（1）知F（1，0）
①當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，P，Q的橫坐標(biāo)均為1，將x=1代入橢圓方程可得y=±
不妨令P（1，），Q（1，-）
由A，P，M三點(diǎn)共線，得，∴m=3
同理可得n=-3
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+y²=9
令y=0，可得x=1或x=7
∴以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)（1，0），（7，0）；
②當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，∵A（-2，0），M（4，m），∴
∴直線AM的方程為y=
代入橢圓方程，整理可得（27+m²）x²+4m²x+4m²-108=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則-2與x₁是上述方程的兩個(gè)實(shí)根
∴-2x₁=，∴x₁=，∴y₁=
∴P（，）
同理可得Q（）
∴=，=
∵P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，∴
∴（m-n）（9+mn）=0
∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
∴以線段MN為直徑的圓的方程為（x-4）²+（y-）²=
將（1，0）代入上式的坐標(biāo)，可得（1-4）²+（0-）²=-mn++（）²=
∴以線段MN為直徑的圓的方程經(jīng)過點(diǎn)（1，0）
同理（7，0）也在圓上，
綜上，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)（1，0），（7，0）；
（3）由（2）知，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)（1，0），（7，0），
故以線段MN為直徑的圓的半徑的最小值為
∴以線段MN為直徑的圓的面積的最小值為9π．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查恒過定點(diǎn)問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．