Question

 (本小題13分) 己知函數(shù)。

（1）試探究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若的圖象與軸交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為, 求證：。

 

Answer 1

【答案】

（1）時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；（2）證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，然后分類求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）首先用函數(shù)的零根表示出a，，即，=，然后代入中，整理得，設(shè)，則，，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求的值域大于0即可得證.

試題解析：（1），則x=是極大值點(diǎn)，函數(shù) 極大值，（0， ）是單調(diào)增區(qū)間，（ ，+）是單調(diào)減區(qū)間；(1)當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；(3)當(dāng)，即時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；

（2）由得

  

=，令，設(shè)，

則，又，，

即，又，。

考點(diǎn)：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)；2.不等式的證明.