Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²-bx，若x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．所以f'（x）=

-(ax+1)(x-1)

x

，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．
所以f'（x）=

-(ax+1)(x-1)

x

．
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
所以x=1是f（x）的極大值點(diǎn)．
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-

1

a

．
因?yàn)閤=1是f（x）的極大值點(diǎn)，所以-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
綜合①②：a的取值范圍是a＞-1．
故答案為：a＞-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．