Question

（本小題15分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足

（1） 求；（2） 由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明，（3） 求

 

Answer 1

【答案】

解：

（1）a₁=1，a₂=，a₃=；

（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能是：an=，證明見解析。

（3）Sn==

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系式的運(yùn)用，令值的思想得到前幾項(xiàng)，然后歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，

（1）由題意可知，那么對于n令值，那么可知a₂=

a₃=

(2)根據(jù)上一問的結(jié)論，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可能是：an=，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分兩步驟證明即可。

（3）因?yàn)橥��?xiàng)公式累加可以得到前n項(xiàng)和的結(jié)論。

解：

（1）S₁=1/2(a₁+1/a₁)

        又S₁=a₁

        故1/2(a₁+1/a₁)=a₁

        即a₁²=1   因?yàn)閍1>0

        故a₁=1

           S₂=1/2(a₂+1/a₂)

        又S₂=a₁+a₂=1+a₂

        故1/2(a₂+1/a₂)=1+a₂ (a₂>0)

        解得：a₂=

        同理：a₃=

（2）從（1）中可看出：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能是：an=

        假設(shè)an=成立

證明：

  ① 當(dāng)n=1時，a_n=1=      假設(shè)成立

  ② 當(dāng)n=2時，a_n==     假設(shè)成立

  ③ 假設(shè)n=i時，假設(shè)成立，即

     ai=

     Si=(+()+()+…+()=

     那么，當(dāng)n=i+1時

     由sn=1/2(a_n+1/a_n)得

     Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)

     ai+1=Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-

     解得：ai+1=  由①②③可證明假設(shè)a_n=成立

     an通項(xiàng)公式為：a_n=

（3）Sn==