Question

15．己知圓C過點（$\sqrt{3}$，1），且與直線x=-2相切于點（-2，0），P是圓C上一動點，A，B為圓C與y軸的兩個交點（點A在B上方），直線PA，PB分別與直線y=-3相交于點 M，N．
（1 ）求圓C的方程：
（II）求證：在x軸上必存在一個定點Q，使$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的值為常數(shù)，并求出這個常數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意得出圓C的圓心在x軸上，設出圓C的標準方程，求出圓心與半徑即可；
（II）【解法一】由題意設出直線AP的方程，根據(jù)AP⊥BP寫出直線BP的方程，
求出M、N的坐標，設點Q的坐標，利用坐標表示$\overrightarrow{QM}$、$\overrightarrow{QN}$和數(shù)量積$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$，
計算$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$為常數(shù)時，在x軸上存在一定點Q．
【解法二】由題意設出點P的坐標，根據(jù)點P在圓C上，
結合直線AP的方程求出點M、N的坐標；
設出點Q的坐標，利用坐標表示出$\overrightarrow{QM}$、$\overrightarrow{NQ}$，
計算數(shù)量積$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$為常數(shù)時，在x軸上存在一定點Q．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C與直線x=-2相切于點（-2，0），
∴圓C的圓心在x軸上，
設圓C的標準方程為（x-a）²+y²=r²（r＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{{（\sqrt{3}-a）}^{2}+1{=r}^{2}}\\{|a-（-2）|=r}\end{array}\right.$，
解得a=0，r=2；
∴圓C的方程為x²+y²=4；
（II）【解法一】證明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，-2），
又由已知可得直線AP的斜率存在且不為0，
設直線AP的方程為y=kx+2（k≠0），
∵AB是圓C的直徑，∴AP⊥BP，
∴直線BP的方程為y=-$\frac{1}{k}$x-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-3}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{k}}\\{y=-3}\end{array}\right.$；∴M（-$\frac{5}{k}$，-3）；
同理可求N（k，-3）；如圖所示，
設Q（t，0），則$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{5}{k}$-t，-3），$\overrightarrow{QN}$=（k-t，-3）；
∴$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=（-$\frac{5}{k}$-t）（k-t）+（-3）×（-3）=t²+4+（$\frac{5}{k}$-k）t，
當t=0時，$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=4為常數(shù)，與k無關，
即在x軸上存在一定點Q（0，0），使$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的值為常數(shù)4．
【解法二】證明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，-2），
設P（x₀，y₀），
由已知得，點P在圓C上，且異于點A、B，∴x₀≠0，y₀≠2，
且${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4；
∴直線AP的方程為y=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$x+2，
當y=-3時，x=-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$，∴點M的坐標為（-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$，-3），
同理：點N的坐標為（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$，-3）；
設Q（t，0），則$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$-t，-3），$\overrightarrow{NQ}$=（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$-t，-3），
∴$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=（-$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$-t）（-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$-t）+9
=t²+（$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$）t+$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$+9
=t²+（$\frac{{5x}_{0}}{{y}_{0}-2}$+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}+2}$）t+4；
當t=0時，$\overrightarrow{QM}$•$\overrightarrow{QN}$=4為常數(shù)，與k無關，
即在x軸上存在一定點Q（0，0），使$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}$的值為常數(shù)4．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積應用問題，也考查了直線與圓的方程應用問題，是綜合題．