Question

如圖所示的數(shù)表，對(duì)任意正整數(shù)i（i=1，2，3，…）滿足以下兩個(gè)條件：
①第一行只有一個(gè)數(shù)1；
②第i行共有i個(gè)數(shù)，這行從左至右第一個(gè)數(shù)等于前一行所有數(shù)的平均數(shù)．這些數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差為2的等差數(shù)列．
則：第n行所有數(shù)的和為

n(n2-n+2)

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件先確定每一行的第一個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和．

解答：解：設(shè)a_n為第n行所有數(shù)的和，根據(jù)第i行從左至右第一個(gè)數(shù)等于前一行所有數(shù)的平均數(shù)，可得第n行的第一個(gè)數(shù)等于

an-1

n-1

，
再利用第i行的數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，
則an=n?

an-1

n-1

+

n(n-1)

2

×2=n?

an-1

n-1

+n(n-1)，
即

an

n

=

an-1

n-1

+(n-1)，
所以

an

n

-

an-1

n-1

=n-1，n≥2，
即

a2

2

-

a1

1

=2-1=1，

a3

3

-

a2

2

=3-1=2
…

an

n

-

an-1

n-1

=n-1，
等式兩邊同時(shí)相加得，

an

n

-a1=1+2+???+(n-1)=

n(n-1)

2

，
即

an

n

=a1+

n(n-1)

2

=1+

n(n-1)

2

=

n2-n+2

2

，
所以an=

n(n2-n+2)

2

．
故答案為：

n(n2-n+2)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用定義先求出每一行的第一個(gè)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，注意利用累加法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．