Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-4|，x∈[0，m]，其中m∈R且m＞0．如果函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，λm²]，試求實(shí)數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：去掉絕對(duì)值，畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，結(jié)合圖象，討論m的取值，用m表示出λ，根據(jù)m的取值，從而求得λ在每種情況下的最小值，對(duì)每種情況下的λ作比較，取最小的即可．

解答： 解：∵f（x）=x|x-4|=

x(4-x)，x≤4 x(x-4)，x＞4

；
該函數(shù)圖象如下：

當(dāng)0＜m≤2時(shí)，-m²+4m=λm²，解得λ=

4

m

-1，
∵0＜m≤2，∴

1

m

≥

1

2

，

4

m

-1≥1，∴此時(shí)λ最小值為1；
當(dāng)2＜m≤2+2

2

時(shí)，λm²=4，λ=

4

m2

，
∵2＜m≤2+2

2

，∴4＜m²≤12+8

2

，

4

m2

≥

1

3+2 2

=3-2

2

，
∴此時(shí)λ最小值為3-2

2

；
當(dāng)m≥2+2

2

時(shí)，m²-4m=λm²，解得λ=1-

4

m

，
∵m≥2+2

2

，∴0＜

4

m

≤2

2

-2，
∴1-

4

m

≥3-2

2

，∴此時(shí)λ最小值為3-2

2

；
綜上得λ的最小值為3-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查處理絕對(duì)值函數(shù)的方法，利用分段函數(shù)圖象解決問(wèn)題的方法，以及二次函數(shù)圖象及值域，根據(jù)λ的范圍求λ最小值的方法．