Question

在直角△ABC中，A=

π

6

，B=

π

3

，點(diǎn)P△ABC內(nèi)，∠APC=

2π

3

，∠BPC=

π

2

，設(shè)∠PCA=α，則tanα=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正切函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：可設(shè)AB=2，BC=1，AC=

3

，在直角△BPC中，PC=sinα，在△APC中，求出∠PAC=

π

3

-α，在△APC中，運(yùn)用正弦定理化簡(jiǎn)整理，即可得到所求的值．

解答： 解：可設(shè)AB=2，BC=1，AC=

3

，
在直角△BPC中，PC=cos（

π

2

-α）=sinα，
在△APC中，∠APC=

2π

3

，∠PCA=α，則∠PAC=

π

3

-α，
再由正弦定理，得，

sinα

sin( π 3 -α)

=

3

sin 2π 3

=2，
sinα=2（

3

2

cosα-

1

2

sinα），
sinα=

3

2

cosα，
則tanα=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理及運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，考查兩角差的正弦公式和同角基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．