Question

已知平面向量

a

=(cosωx+

3

sinωx，1)，

b

=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0且

a

∥

b

，函數(shù)f（x）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離為

3π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[π，

5π

2

]上的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）通過向量平行，推出函數(shù)的表達(dá)式，利用二倍角以及兩角和的正弦函數(shù)化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過周期求ω的值；
（2）利用[π，

5π

2

]，求出

5π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

11π

6

，-1≤sin(

2

3

x+

π

6

)≤

1

2

即求函數(shù)f（x）在區(qū)間的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）由

a

∥

b

得f(x)×1=(cosωx+

3

sinωx)×cosωx，整理并化簡得f(x)=

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
依題意

T

2

=

3π

2

，T=3π，又T=

2π

2ω

，
所以ω=

1

3

．
（2）f(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)+

1

2

，π≤x≤

5π

2

，

5π

6

≤

2

3

x+

π

6

≤

11π

6

，
所以-1≤sin(

2

3

x+

π

6

)≤

1

2

，
所以f（x）的最大值為fmax=

1

2

，易得相應(yīng)的x=π．

點評：（1）試題核心是三角函數(shù)性質(zhì)，情景與條件有鮮明的幾何意義，綜合了三角函數(shù)的對稱性、周期性和最值等，要求熟悉三角函數(shù)圖象，并以圖象和性質(zhì)引導(dǎo)計算．
（2）三角形模型．典型的結(jié)構(gòu)是：根據(jù)若干給定條件確定三角形的邊與角，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步求解．給定條件方式有：坐標(biāo)、向量或方位，有應(yīng)用題特征．