Question

函數f(x)=

1

x

+

4

1-x

（0＜x＜1）的最小值為

9

．

Answer 1

分析：根據求導公式和法則求出導數，并通分化簡，求出函數的臨界點，再求出導數大于零和小于零的解，寫出函數的單調區(qū)間，再求出函數的最小值．

解答：解：由題意得，f′(x)=-

1

x2

+

4

(1-x)2

=

-(1-x)2+4x2

x2(1-x)2

=

3x2+2x-1

x2(1-x)2

，
令f′（x）=0，即3x²+2x-1=0，解得x=-1或

1

3

，
當0＜x＜

1

3

時，f′（x）＜0；當

1

3

＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

3

）上遞減，在（

1

3

，1）上遞增，
則當x=

1

3

時，函數取到最小值為f(

1

3

)=3+

4

1- 1 3

=9，
故答案為：9．

點評：本題考查了導數與函數的單調性、最值的關系，考查了學生的計算能力，屬于中檔題．