Question

（本小題滿分12分） 

已知定點(diǎn)A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由.

Answer 1

解：

(1)設(shè)P(x,y)，則

化簡(jiǎn)得x2－＝1(y≠0)………………………………………………………………4分

(2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)

與雙曲線x2－＝1聯(lián)立消去y得 

(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0

由題意知3－k2≠0且△＞0

設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，

則

y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

   ＝k2(＋4)

   ＝ 

因?yàn)閤1、x2≠－1

所以直線AB的方程為y＝(x＋1)

因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()

,同理可得

因此

            ＝ 

            ＝0

②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)

AB的方程為y＝x＋1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()，

同理可得

因此＝0

綜上＝0，即FM⊥FN

故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F………………………………………………12分