Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

x-2

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）圖象在與y軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形面積．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間．
（2）先求出與y軸的交點(diǎn)，得到切線(xiàn)方程，最后根據(jù)切線(xiàn)方程與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)得到面積．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?span id="3b04wfp" class="MathJye">{x|x≠2}， f′(x)=

(x-3)ex

(x-2)2

當(dāng)x＞3時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x＜3且x≠2時(shí)，f'（x）＜0．
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（3，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2），（2，3）．
（2）函數(shù)f（x）的圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0， -

1

2

)，?∴f′(0)=

-3

4

故切線(xiàn)方程為y+

1

2

=-

3

4

x，
切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0， -

1

2

)和(-

2

3

， 0)
∴所求圖象的面積S=

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．