Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+bx²+cx+bc，
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值-，試確定b、c的值；
（2）在（1）的條件下，曲線y=f（x）+m與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）記g（x）=|f′（　x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的取值范圍．
（參考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）

Answer 1

解：（1）解得或．…（2分）
若，，f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上單調(diào)遞減，在x=1處無極值；
若，，f'（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），
直接討論知，f（x）在x=1處有極大值，所以為所求．…（4分）
（2）由（1），，…（6分）
當(dāng)y_極小值=m-12＞0，或，曲線y=f（x）+m與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．…（8分）
因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞12或．…（9分）
（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，
則f'（x）在[-1，1]是單調(diào)函數(shù)，M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，因?yàn)閒'（1）與f'（-1）之差的絕對值|f'（1）-f'（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．…（11分）
若|b|≤1，f'（x）在x=b∈[-1，1]取極值，
則M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|，|f'（b）|}，f'（b）-f'（±1）=（b?1）²．
若-1≤b＜0，f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），；
若0≤b≤1，f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），M=max{|f'（-1）|，|f'（b）|}．
當(dāng)b=0，時(shí)，在[-1，1]上的最大值．…（13分）
所以，k的取值范圍是．…（14分）
分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意f′（x）=0應(yīng)有根x=1，可得一個(gè)關(guān)系式，再借助極值建立等量關(guān)系，解二元一次方程組即可，應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)為0是取極值的必要不充分條件．
（2）曲線f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．
（3）根據(jù)題意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，通過極值求解系數(shù)，，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，從而解決恒成立問題，屬于中檔題．